Iniciando o estudo da inequação do 1º grau
Apresente à turma a noção de desigualdade matemática e trabalhe o conceito de inequação do 1º grau com uma incógnita
Objetivos
- Explorar os diferentes significados de desigualdade.
- Relacionar os diferentes significados de desigualdade ao conceito de inequação do 1º grau com uma incógnita.
- Estabelecer semelhanças e diferenças entre os princípios da igualdade e da desigualdade.
- Relacionar expressões envolvendo desigualdades escritas na língua materna e na linguagem matemática
- Explorar os diferentes significados de desigualdade.
- Relacionar os diferentes significados de desigualdade ao conceito de inequação do 1º grau com uma incógnita.
- Estabelecer semelhanças e diferenças entre os princípios da igualdade e da desigualdade.
- Relacionar expressões envolvendo desigualdades escritas na língua materna e na linguagem matemática
Conteúdos
- Inequação do 1º grau com uma incógnita.
- Princípios da igualdade e da desigualdade.
- Linguagem algébrica.
- Inequação do 1º grau com uma incógnita.
- Princípios da igualdade e da desigualdade.
- Linguagem algébrica.
Anos
8º e 9º anos.
Tempo estimado
Cinco aulas.
Material necessário
Lápis, borracha, papel e cópias das atividades.
Desenvolvimento
1ª etapa
Escreva no quadro a palavra Desigualdade e peça aos alunos para dizerem o que ela significa para eles. Incentive-os a associar cada significado a uma situação e/ou frase que a exemplifique. Anote as respostas no quadro e peça a eles para fazerem o mesmo nos cadernos. Em seguida, organize os estudantes em duplas e distribua uma folha com manchetes de jornais, revistas, sites contendo a palavra desigualdade, conforme exemplos a seguir, retirados do jornal O Estado de São Paulo:
Desigualdade crescer no país, alerta OCDE. Dilma quer investimentos em educação e saúde para atacar desigualdade na ‘raiz’.
Desigualdade racial na educação do País persiste, mas começa a diminuir.
Cidades brasileiras integram lista das mais desiguais.
Mulheres ainda enfrentam desigualdade no trabalho.
As duplas deverão identificar os significados relacionados à desigualdade em cada manchete e associá-los aos significados apontados anteriormente. Se preciso, entregue as reportagens completas para auxiliá-los na resolução da atividade. Terminada a tarefa, coordene uma conversa entre os alunos cujo tema seja os diferentes significados de desigualdade presentes nas manchetes / reportagens e como eles se posicionam diante deles. Para isso, apresente o verbete Desigualdade retirado de um bom dicionário. Peça que eles, durante a leitura, destaquem quais significados foram identificados nas reportagens e relacionados por eles no início da aula e quais não foram contemplados.
2ª etapa
Explique para a turma que a partir de então será iniciado o estudo de desigualdade em matemática. Em seguida, organize-os em duplas e proponha a resolução das três situações a seguir:
Depois, compartilhe algumas resoluções incorretas (sem mencionar os autores). Peça a todos para analisá-las e propor dicas para que os erros identificados não sejam cometidos na resolução de situações semelhantes. A próxima tarefa dos alunos é estabelecer, coletivamente, diferenças e semelhanças entre os textos dos problemas e as respectivas resoluções. Divida o quadro ao meio, escreva os títulos Semelhanças e Diferenças.
Problematize as contribuições dos alunos de tal modo que todos consigam argumentar por que concordam ou não com elas. Peça aos alunos para registrarem a síntese nos respectivos cadernos.
Em seguida, relembre quais foram os significados atribuídos à palavra desigualdade na aula anterior e termine esta etapa perguntando aos alunos: quais problemas envolvem a ideia de desigualdade? Por quê? Organize as ideias através da apresentação do que é uma desigualdade em matemática: A desigualdade é uma frase em matemática na qual podem aparecer os sinais < (menor que), > (maior que), ≤ (menor ou igual a) ≥ (maior ou igual a) ou ≠ (diferente). Todos esses sinais indicam uma desigualdade. Forneça alguns exemplos e peça aos alunos para sugerirem outros. Registre-os no quadro (os corretos e os incorretos) e avise os alunos que as contribuições deles serão retomadas na próxima aula.
Proponha aos alunos a realização de outras atividades semelhantes às apresentadas na 2ª etapa, para que eles possam retomar o conhecimento que foi sistematizado sobre a resolução de situações envolvendo a ideia de desigualdade. As soluções podem ser encontradas em casa e a discussão sobre elas pode ser feita em sala de aula, como estratégia para retomada do que foi estudado anteriormente.
Algumas possibilidades:
Retome os exemplos de desigualdades registrados na aula anterior. Organize os estudantes em quartetos e informe-os que a atividade que eles realizarão foi organizada para permiti-los decidir se as escritas representam, de fato, desigualdades em matemática e também para apresentar os princípios da desigualdade. Distribua para cada aluno a folha a seguir:
O que acontece com a desigualdade 10 > 6 se:
a) adicionarmos ou subtrairmos a mesma quantidade aos números de cada um de seus membros?
b) multiplicarmos ou dividirmos por um mesmo valor os números de cada um de seus membros?
Incentive os quartetos a utilizarem números racionais na forma decimal e fracionária, positivos e negativos como, por exemplo: adicionar 5, - 3/7, ½ ou - 4,25 aos dois números da desigualdade, ou, multiplicar os dois números da desigualdade por -10, - 1/3, 5/8 ou 0,9.
Sistematize as aprendizagens apresentando os princípios da desigualdade e utilize os exemplos dos alunos para justifica-las. Em seguida apresente os princípios da igualdade, utilizados anteriormente pelos estudantes para resolverem equações do 1º grau, incentive-os a estabelecer semelhanças e diferenças com os princípios da igualdade e, finalmente, ajude-os a perceber que, quando multiplicamos ou dividimos cada membro de uma desigualdade por um mesmo número, inverte-se o seu sentido. Termine esta etapa solicitando aos alunos para retomarem os exemplos citados por eles e verificarem se, de fato, representam desigualdades. Se for preciso, faça as intervenções necessárias.
4ª etapa
Escreva no quadro as escritas 26n + 20 < 150 e 26n + 20 > 150. Pergunte quais interpretações os alunos fazem de cada frase matemática. Anote todas as respostas no quadro e incentive o estabelecimento de relações entre elas. Caso não surjam como exemplos, respectivamente, as situações 2 e 3 estudadas na 2ª etapa, retome-as e peça aos alunos para fazerem relações entre elas e as escritas acima.
Realizadas as identificações, aproveite as escritas 26n + 20 < 150 e 26n + 20 > 150 para apresentar o conceito de inequações do 1º grau com uma incógnita. Finalize essa etapa propondo a escrita de algumas frases na forma de inequações do 1º grau. Neste momento, não se preocupe com procedimentos de resolução de inequações, mas sim com o desenvolvimento e a compreensão da linguagem algébrica pelos alunos.
Acompanhe o trabalho dos alunos, faça as intervenções necessárias e registre o que deve ser retomado com todos os alunos. Pode surgir, por exemplo, para a frase “2 vezes um número, mais 5 é menor ou igual a 15”, a escrita 2(n + 5) ≤ 15. Caso isso aconteça, registre no quadro a frase “o dobro entre a soma de um número e 5 é menor ou igual a 15” e peça aos alunos para compararem as duas frases. Ajude-os a perceber que a primeira frase “2 vezes um número, mais 5 é menor ou igual a 15”, pode ser escrita na linguagem matemática dessa maneira: 2•n + 5 ≤ 15, enquanto a outra, pode ser registrada assim: 2(n + 5) ≤ 15.
Além da frase acima, outras poderão exigir mais deles como, por exemplo, aquelas que contenham expressões do tipo “não é menor que zero” ou “não é maior que zero”, que equivalem, respectivamente, a “maior ou igual a zero” e a “menor ou igual a zero”. Se, diante da frase “o quádruplo de um número diminuído em 6 unidades não é menor que zero”, surgirem registros semelhantes a 4•x – 6 > 0, pergunte aos alunos como reescrever a frase sem utilizar a expressão “não é menor que zero” mas mantendo o mesmo sentido.
Caso seja necessário, sugira algumas possibilidades: menor que zero, maior que zero, menor ou igual a zero e maior ou igual a zero. Auxilie os a perceber que a expressão “não é menor que zero” equivale a “maior ou igual a zero”. Aproveite a atividade para avaliar, também, a compreensão dos alunos em relação a termos específicos da matemática: dobro, quociente, soma, diminuído...
Algumas possibilidades:
a) Um número aumentado em 4 unidades
b) O dobro de um número é maior que 10
c) 2 vezes um número, mais 5 é menor ou igual a 15
d) 3 vezes a soma de 5 e um número é menor que 20
e) o quociente de um número e 2 é maior ou igual a 6
f) o quádruplo de um número diminuído em 6 unidades não é menor que zero.
Avaliação
Consulte o livro didático adotado pela escola e/ou outro material didático e proponha atividades envolvendo a relação entre a língua materna e a linguagem algébrica, conforme sugerido ao final da etapa anterior. Durante a realização da atividade, acompanhe os alunos e avalie se eles compreenderam os significados dos sinais de desigualdade e também de termos específicos da matemática: dobro, quociente, vezes...
Diante dos alunos que estão demonstrando maiores dificuldades, realize a correção da atividade e proponha frases complementares. Enquanto você acompanha esses alunos fazendo as intervenções necessárias, os demais estão resolvendo algumas das inequações formuladas a partir das frases escritas na língua materna, por meio de procedimentos pessoais. Na próxima etapa, inicie o estudo da resolução de inequações do 1º grau com uma incógnita por meio da socialização e discussão os procedimentos pessoais apresentados por estes alunos.
8º e 9º anos.
Tempo estimado
Cinco aulas.
Material necessário
Lápis, borracha, papel e cópias das atividades.
Desenvolvimento
1ª etapa
Escreva no quadro a palavra Desigualdade e peça aos alunos para dizerem o que ela significa para eles. Incentive-os a associar cada significado a uma situação e/ou frase que a exemplifique. Anote as respostas no quadro e peça a eles para fazerem o mesmo nos cadernos. Em seguida, organize os estudantes em duplas e distribua uma folha com manchetes de jornais, revistas, sites contendo a palavra desigualdade, conforme exemplos a seguir, retirados do jornal O Estado de São Paulo:
Desigualdade crescer no país, alerta OCDE. Dilma quer investimentos em educação e saúde para atacar desigualdade na ‘raiz’.
Desigualdade racial na educação do País persiste, mas começa a diminuir.
Cidades brasileiras integram lista das mais desiguais.
Mulheres ainda enfrentam desigualdade no trabalho.
As duplas deverão identificar os significados relacionados à desigualdade em cada manchete e associá-los aos significados apontados anteriormente. Se preciso, entregue as reportagens completas para auxiliá-los na resolução da atividade. Terminada a tarefa, coordene uma conversa entre os alunos cujo tema seja os diferentes significados de desigualdade presentes nas manchetes / reportagens e como eles se posicionam diante deles. Para isso, apresente o verbete Desigualdade retirado de um bom dicionário. Peça que eles, durante a leitura, destaquem quais significados foram identificados nas reportagens e relacionados por eles no início da aula e quais não foram contemplados.
2ª etapa
Explique para a turma que a partir de então será iniciado o estudo de desigualdade em matemática. Em seguida, organize-os em duplas e proponha a resolução das três situações a seguir:
- Situação 1: José gastou 150 reais na compra de uma camiseta que custou 20 reais e de alguns calções que custaram 26 reais cada um. Quantos calções foram comprados por José?
- Situação 2: José gastou menos de 150 reais na compra de uma camiseta que custou 20 reais e de alguns calções que custaram 26 reais cada um. Quantos calções foram comprados por José?
- Situação 3: José gastou mais de 150 reais na compra de uma camiseta que custou 20 reais e de alguns calções que custaram 26 reais cada um. Quantos calções foram comprados por José?
Depois, compartilhe algumas resoluções incorretas (sem mencionar os autores). Peça a todos para analisá-las e propor dicas para que os erros identificados não sejam cometidos na resolução de situações semelhantes. A próxima tarefa dos alunos é estabelecer, coletivamente, diferenças e semelhanças entre os textos dos problemas e as respectivas resoluções. Divida o quadro ao meio, escreva os títulos Semelhanças e Diferenças.
Problematize as contribuições dos alunos de tal modo que todos consigam argumentar por que concordam ou não com elas. Peça aos alunos para registrarem a síntese nos respectivos cadernos.
Em seguida, relembre quais foram os significados atribuídos à palavra desigualdade na aula anterior e termine esta etapa perguntando aos alunos: quais problemas envolvem a ideia de desigualdade? Por quê? Organize as ideias através da apresentação do que é uma desigualdade em matemática: A desigualdade é uma frase em matemática na qual podem aparecer os sinais < (menor que), > (maior que), ≤ (menor ou igual a) ≥ (maior ou igual a) ou ≠ (diferente). Todos esses sinais indicam uma desigualdade. Forneça alguns exemplos e peça aos alunos para sugerirem outros. Registre-os no quadro (os corretos e os incorretos) e avise os alunos que as contribuições deles serão retomadas na próxima aula.
Proponha aos alunos a realização de outras atividades semelhantes às apresentadas na 2ª etapa, para que eles possam retomar o conhecimento que foi sistematizado sobre a resolução de situações envolvendo a ideia de desigualdade. As soluções podem ser encontradas em casa e a discussão sobre elas pode ser feita em sala de aula, como estratégia para retomada do que foi estudado anteriormente.
Algumas possibilidades:
- Situação 4: José e Márcio fazem parte da equipe de atletismo da escola. Juntos, eles já ganharam 20 medalhas em campeonatos. José possui mais medalhas do que Márcio. Quantas medalhas José possui?
- Situação 5: José e Márcio fazem parte da equipe de atletismo da escola. Juntos, eles já ganharam 20 medalhas em campeonatos. José possui 5 medalhas a mais do que Márcio. Quantas medalhas José possui?
- Situação 6: José e Márcio fazem parte da equipe de atletismo da escola. Juntos, eles já ganharam 20 medalhas em campeonatos. José não possui menos do que 5 medalhas. Quantas medalhas Márcio possui?
- Situação 7: Pensei em um número. Multipliquei-o por 3 e, ao resultado, adicionei 10. Obtive 37. Em que número eu pensei?
- Situação 8: Pensei em um número . Multipliquei-o por 3 e, ao resultado, adicionei 10. Obtive um número maior que 37. Em que número eu pensei?
- Situação 9: Pensei em um número . Multipliquei-o por 3 e, ao resultado, adicionei 10. Obtive um número maior que 37 e menor do que 47. Em que número eu pensei?
Retome os exemplos de desigualdades registrados na aula anterior. Organize os estudantes em quartetos e informe-os que a atividade que eles realizarão foi organizada para permiti-los decidir se as escritas representam, de fato, desigualdades em matemática e também para apresentar os princípios da desigualdade. Distribua para cada aluno a folha a seguir:
O que acontece com a desigualdade 10 > 6 se:
a) adicionarmos ou subtrairmos a mesma quantidade aos números de cada um de seus membros?
b) multiplicarmos ou dividirmos por um mesmo valor os números de cada um de seus membros?
Incentive os quartetos a utilizarem números racionais na forma decimal e fracionária, positivos e negativos como, por exemplo: adicionar 5, - 3/7, ½ ou - 4,25 aos dois números da desigualdade, ou, multiplicar os dois números da desigualdade por -10, - 1/3, 5/8 ou 0,9.
Sistematize as aprendizagens apresentando os princípios da desigualdade e utilize os exemplos dos alunos para justifica-las. Em seguida apresente os princípios da igualdade, utilizados anteriormente pelos estudantes para resolverem equações do 1º grau, incentive-os a estabelecer semelhanças e diferenças com os princípios da igualdade e, finalmente, ajude-os a perceber que, quando multiplicamos ou dividimos cada membro de uma desigualdade por um mesmo número, inverte-se o seu sentido. Termine esta etapa solicitando aos alunos para retomarem os exemplos citados por eles e verificarem se, de fato, representam desigualdades. Se for preciso, faça as intervenções necessárias.
4ª etapa
Escreva no quadro as escritas 26n + 20 < 150 e 26n + 20 > 150. Pergunte quais interpretações os alunos fazem de cada frase matemática. Anote todas as respostas no quadro e incentive o estabelecimento de relações entre elas. Caso não surjam como exemplos, respectivamente, as situações 2 e 3 estudadas na 2ª etapa, retome-as e peça aos alunos para fazerem relações entre elas e as escritas acima.
Realizadas as identificações, aproveite as escritas 26n + 20 < 150 e 26n + 20 > 150 para apresentar o conceito de inequações do 1º grau com uma incógnita. Finalize essa etapa propondo a escrita de algumas frases na forma de inequações do 1º grau. Neste momento, não se preocupe com procedimentos de resolução de inequações, mas sim com o desenvolvimento e a compreensão da linguagem algébrica pelos alunos.
Acompanhe o trabalho dos alunos, faça as intervenções necessárias e registre o que deve ser retomado com todos os alunos. Pode surgir, por exemplo, para a frase “2 vezes um número, mais 5 é menor ou igual a 15”, a escrita 2(n + 5) ≤ 15. Caso isso aconteça, registre no quadro a frase “o dobro entre a soma de um número e 5 é menor ou igual a 15” e peça aos alunos para compararem as duas frases. Ajude-os a perceber que a primeira frase “2 vezes um número, mais 5 é menor ou igual a 15”, pode ser escrita na linguagem matemática dessa maneira: 2•n + 5 ≤ 15, enquanto a outra, pode ser registrada assim: 2(n + 5) ≤ 15.
Além da frase acima, outras poderão exigir mais deles como, por exemplo, aquelas que contenham expressões do tipo “não é menor que zero” ou “não é maior que zero”, que equivalem, respectivamente, a “maior ou igual a zero” e a “menor ou igual a zero”. Se, diante da frase “o quádruplo de um número diminuído em 6 unidades não é menor que zero”, surgirem registros semelhantes a 4•x – 6 > 0, pergunte aos alunos como reescrever a frase sem utilizar a expressão “não é menor que zero” mas mantendo o mesmo sentido.
Caso seja necessário, sugira algumas possibilidades: menor que zero, maior que zero, menor ou igual a zero e maior ou igual a zero. Auxilie os a perceber que a expressão “não é menor que zero” equivale a “maior ou igual a zero”. Aproveite a atividade para avaliar, também, a compreensão dos alunos em relação a termos específicos da matemática: dobro, quociente, soma, diminuído...
Algumas possibilidades:
a) Um número aumentado em 4 unidades
b) O dobro de um número é maior que 10
c) 2 vezes um número, mais 5 é menor ou igual a 15
d) 3 vezes a soma de 5 e um número é menor que 20
e) o quociente de um número e 2 é maior ou igual a 6
f) o quádruplo de um número diminuído em 6 unidades não é menor que zero.
Avaliação
Consulte o livro didático adotado pela escola e/ou outro material didático e proponha atividades envolvendo a relação entre a língua materna e a linguagem algébrica, conforme sugerido ao final da etapa anterior. Durante a realização da atividade, acompanhe os alunos e avalie se eles compreenderam os significados dos sinais de desigualdade e também de termos específicos da matemática: dobro, quociente, vezes...
Diante dos alunos que estão demonstrando maiores dificuldades, realize a correção da atividade e proponha frases complementares. Enquanto você acompanha esses alunos fazendo as intervenções necessárias, os demais estão resolvendo algumas das inequações formuladas a partir das frases escritas na língua materna, por meio de procedimentos pessoais. Na próxima etapa, inicie o estudo da resolução de inequações do 1º grau com uma incógnita por meio da socialização e discussão os procedimentos pessoais apresentados por estes alunos.
Consultoria Humberto Luis de Jesus
Assessor técnico da Secretaria Municipal de Educação de São Paulo.
Assessor técnico da Secretaria Municipal de Educação de São Paulo.